高考數(shù)學(xué)解題方法和必背公式。數(shù)學(xué)是高中階段*重要的一門*。數(shù)學(xué)的重要性,不僅僅體現(xiàn)在它是高考主科,出題非常具有區(qū)分度,人人聞風(fēng)喪膽;更重要的是,數(shù)學(xué)提供了一種深度的邏輯思維訓(xùn)練,這種思維的力量貫穿于高中時代的各個*,尤其是理工科之中。大家可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn),數(shù)學(xué)好的人,一般物理也不會差。這就是數(shù)學(xué)和物理思維的相通性:基于公理、抽象和演繹的邏輯。
今天,老師為大家整理了一份高中數(shù)學(xué)老師都推薦的數(shù)學(xué)解題方法,這里面涵蓋了高中數(shù)學(xué)的方方面面,可以說是高中數(shù)學(xué)解題方法大綜合,各位同學(xué)一定要記得收藏哦!
1,適用條件:
[直線過焦點],必有ecosA=(x-1)/(x+1),其中A為直線與焦點所在軸夾角,是銳角。x為分離比,必須大于1。注上述公式適合一切圓錐曲線。如果焦點內(nèi)分(指的是焦點在所截線段上),用該公式;如果外分(焦點在所截線段延長線上),右邊為(x+1)/(x-1),其他不變。
2,函數(shù)的周期性問題(記憶三個):①、若f(x)=-f(x+k),則T=2k; ②、若f(x)=m/(x+k)(m不為0),則T=2k; ③、若f(x)=f(x+k)+f(x-k),則T=6k。注意點:a.周期函數(shù),周期必?zé)o限b.周期函數(shù)未必存在*小周期,如:常數(shù)函數(shù)。c.周期函數(shù)加周期函數(shù)未必是周期函數(shù),如:y=sinxy=sin派x相加不是周期函數(shù)。
3,關(guān)于對稱問題(無數(shù)人搞不懂的問題)總結(jié)如下:①,若在R上【天津高中輔導(dǎo)機構(gòu)】(下同)滿足:f(a+x)=f(b-x)恒成立,對稱軸為x=(a+b)/2;②、函數(shù)y=f(a+x)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于x=(b-a)/2對稱;③、若f(a+x)+f(a-x)=2b,則f(x)圖像關(guān)于(a,b)中心對稱。
4,函數(shù)奇偶性:①、對于屬于R上的奇函數(shù)有f(0)=0;②、對于含參函數(shù),奇函數(shù)沒有偶次方項,偶函數(shù)沒有奇次方項③,奇偶性作用不大,一般用于選擇填空。
5,數(shù)列爆強定律:①,等差數(shù)列中:S奇=na中,例如S13=13a7(13和7為下角標(biāo));②,等差數(shù)列中:S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差;③,等比數(shù)列中,上述2中各項在公比不為負(fù)一時成等比,在q=-1時,未必成立;④,等比數(shù)列爆強公式:S(n+m)=S(m)+q2mS(n)可以迅速求q。
6,數(shù)列的*利器,特征根方程。首先介紹公式:對于an+1=pan+q(n+1為下角標(biāo),n為下角標(biāo)),a1已知,那么特征根x=q/(1-p),則數(shù)列通項公式為an=(a1-x)p2(n-1)+x,這是一階特征根方程的運用。二階有點麻煩,且不常用。所以不贅述。希望同學(xué)們牢記上述公式。當(dāng)然這種類型的數(shù)列可以構(gòu)造(兩邊同時加數(shù))。
7,函數(shù)詳解補充:①、復(fù)合函數(shù)奇偶性:內(nèi)偶則偶,內(nèi)奇同外;②、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性:同增異減;③、重點知識關(guān)于三次函數(shù):恐怕沒有多少人知道三次函數(shù)曲線其實是中心對稱圖形。它有一個對稱中心,求法為二階導(dǎo)后導(dǎo)數(shù)為0,根x即為中心橫坐標(biāo),縱坐標(biāo)可以用x帶入原函數(shù)界定。另外,必有*一條過該中心的直線與兩旁相切。
8,常用數(shù)列bn=n×(22n)求和Sn=(n-1)×(22(n+1))+2記憶方法:前面減去一個1,后面加一個,再整體加一個2。
9,適用于標(biāo)準(zhǔn)方程(焦點在x軸)爆強公式:k橢=-{(b2)xo}/{(a2)yo}k雙={(b2)xo}/{(a2)yo}k拋=p/yo注:(xo,yo)均為直線過圓錐曲線所截【天津高三補習(xí)中心哪里好】段的中點。
10,強烈推薦一個兩直線垂直或平行的必殺技:已知直線L1:a1x+b1y+c1=0直線L2:a2x+b2y+c2=0若它們垂直:(充要條件)a1a2+b1b2=0;若它們平行:(充要條件)a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1[這個條件為了防止兩直線重合)注:以上兩公式避免了斜率是否存在的麻煩,直接必殺!
11,經(jīng)典中的經(jīng)典:相信鄰項相消大家都知道。下面看隔項相消:對于Sn=1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+…+1/[n(n+2)]=1/2[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]注:隔項相加保留四項,即首兩項,尾兩項。自己把式子寫在草稿紙上,那樣看起來會很清爽以及整潔!
12,爆強△面積公式:S=1/2∣mq-np∣其中向量AB=(m,n),向量BC=(p,q)注:這個公式可以解決已知三角形三點坐標(biāo)求面積的問題!
13,你知道嗎?空間立體幾何中:以下命題均錯:1,空間中不同三點確定一個平面;2,垂直同一直線的兩直線平行;3,兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;4,如果一條直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直,則直線垂直平面;5,有兩個面互相平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱;6,有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體都是棱錐注。
14,一個小知識點:所有棱長均相等的棱錐可以是三、四、五棱錐。
15,求f(x)=∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-n∣(n為正整數(shù))的*小值。答案為:當(dāng)n為奇數(shù),*小值為(n2-1)/4,在x=(n+1)/2時取到;當(dāng)n為偶數(shù)時,*小值為n2/4,在x=n/2或n/2+1時取到。
16,〔(a2+b2)〕/2≥(a+b)/2≥√ab≥2ab/(a+b)(a、b為正數(shù),是統(tǒng)一定義域)
17,橢圓中焦點三角形面積公式:S=b2tan(A/2)在雙曲線中:S=b2/tan(A/2)說明:適用于焦點在x軸,且標(biāo)準(zhǔn)的圓錐曲線。A為兩焦半徑【天津高三全日制補習(xí)班】夾角。
18,爆強定理:空間向量三公式解決所有題目:cosA=|{向量a.向量b}/[向量a的?！料蛄縝的模]|一:A為線線夾角,二:A為線面夾角(但是公式中cos換成sin)三:A為面面夾角注:以上角范圍均為[0,派/2]。
19,爆強公式12+22+32+…+n2=1/6(n)(n+1)(2n+1);123+223+323+…+n23=1/4(n2)(n+1)2。
20,爆強切線方程記憶方法:寫成對稱形式,換一個x,換一個y。舉例說明:對于y2=2px可以寫成y×y=px+px再把(xo,yo)帶入其中一個得:y×yo=pxo+px。
21,爆強定理:(a+b+c)2n的展開式[合并之后]的項數(shù)為:Cn+22,n+2在下,2在上。
22,切線長l=√(d2-r2)d表示圓外一點到圓心得距離,r為圓半徑,而d*小為圓心到直線的距離。
23,對于y2=2px,過焦點的互相垂直的兩弦AB、CD,它們的和*小為8p。爆強定理的證明:對于y2=2px,設(shè)過焦點的弦傾斜角為A.那么弦長可表示為2p/〔(sinA)2〕,所以與之垂直的弦長為2p/[(cosA)2],所以求和再據(jù)三角知識可知。(題目的意思就是弦AB過焦點,CD過焦點,且AB垂直于CD)。
24,關(guān)于一個重要*值不等式的介紹爆強:∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣
25,關(guān)于解決證明含ln的不等式的一種思路:舉例說明:證明1+1/2+1/3+…+1/n>ln(n+1)把左邊看成是1/n求和,右邊看成是Sn。解:令an=1/n,令Sn=ln(n+1),則bn=ln(n+1)-lnn,那么只需證an>bn即可,根據(jù)定積分知識畫出y=1/x的圖。an=1×1/n=矩形面積>曲線下面積=bn。當(dāng)然前面要證明1>ln2。注:僅供有能力的童鞋參考!!另外對于這種方法可以推廣,就是把左邊、右邊看成是數(shù)列求和,證面積大小即可。說明:前提是含ln。
【天津高中輔導(dǎo)班排名榜名學(xué)生】26,簡潔公式:向量a在向量b上的射影是:〔向量a×向量b的數(shù)量積〕/[向量b的模]。
27,說明一個易錯點:若f(x+a)[a任意]為奇函數(shù),那么得到的結(jié)論是f(x+a)=-f(-x+a)〔等式右邊不是-f(-x-a)〕,同理如果f(x+a)為偶函數(shù),可得f(x+a)=f(-x+a)牢記!
28,離心率爆強公式:e=sinA/(sinM+sinN)注:P為橢圓上一點,其中A為角F1PF2,兩腰角為M,N。
29,橢圓的參數(shù)方程也是一個很好的東西,它可以解決一些*值問題。比如x2/4+y2=1求z=x+y的*值。解:令x=2cosay=sina再利用三角有界即可。比你去=0不知道快多少倍!
30,爆強公式:和差化積sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]積化和差sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
31,爆強定理:直觀圖的面積是原圖的2/4倍。
32,三角形垂心爆強定理:1,向量OH=向量OA+向量OB+向量OC(O為三角形外心,H為垂心)2,若三角形的三個頂點都在函數(shù)y=1/x的圖象上,則它的垂心也在這個函數(shù)圖象上。
33,爆強思路:如果出現(xiàn)兩根之積x1x2=m,兩根之和x1+x2=n,我們應(yīng)當(dāng)形成一種思路,那就是返回去構(gòu)造一個二次函數(shù),再利用△大于等于0,可以得到m、n范圍。
34,常用結(jié)論:過(2p,0)的直線交拋物線y2=2px于A、B兩點。O為原點,連接AO.BO。必有角AOB=90度
35,爆強公式:ln(x+1)≤x(x>-1)該式能有效解決不等式的證明問題。舉例說明:ln(1/(22)+1)+ln(1/(32)+1)+…+ln(1/(n2)+1)<1(n≥2)證明如下:令x=1/(n2),根據(jù)ln(x+1)≤x有左右累和右邊再放縮得:左和<1-1/n<1證畢!
36,函數(shù)y=(sinx)/x是偶函數(shù)。在(0,派)上它單調(diào)遞減,(-派,0)上單調(diào)遞增。利用上述性質(zhì)可以比較大小。
37,函數(shù)y=(lnx)/x在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+無窮)上單調(diào)遞減。另外y=x2(1/x)與該函數(shù)的單調(diào)性一致。
38,幾個數(shù)學(xué)易錯點:f`(x)<0是函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件;在研究函數(shù)奇偶性時,忽略*開始的也是*重要的一步:考慮定義域是否關(guān)于原點對稱!
39,不等式的運用過程中,千萬要考慮"="號是否取到!研究數(shù)列問題不考慮分項,就是說有時*項并不符合通項公式,所以應(yīng)當(dāng)極度注意:數(shù)列問題一定要考慮是否需要分項!
39,提高計算能力五步曲:①,扔掉計算器;②,仔細(xì)審題(提倡看題慢,解題快),要知道沒有看清楚題目,你算多少都沒用!;③,熟記常用數(shù)據(jù),掌握一些速算技巧;④,加強心算,估算能力;⑤,[檢驗]!。
41,一個美妙的公式…:爆強!已知三角形中AB=a,AC=b,O為三角形的外心,則向量AO×向量BC(即數(shù)量積)=(1/2)[b2-a2]強烈推薦!證明:過O作BC垂線,轉(zhuǎn)化到已知邊上
42,①函數(shù)單調(diào)性的含義:大多數(shù)同學(xué)都知道若函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào),則函數(shù)值隨著自變量的增大(減小)而增大(減小),但有些意思可能有些人還不是很清楚,若函數(shù)在D上單調(diào),則函數(shù)必連續(xù)(分段函數(shù)另當(dāng)別論)這也說明了為什么不能說y=tanx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,因為它的圖像被無窮多條漸近線擋住,換而言之,不連續(xù).還有,如果函數(shù)在D上單調(diào),則函數(shù)在D上y與x一一對應(yīng).這個可以用來解一些方程.至于例子不舉了.②函數(shù)周期性:這里主要總結(jié)一些函數(shù)方程式所要表達(dá)的周期設(shè)f(x)為R上的函數(shù),對任意x∈R(1)f(a±x)=f(b±x)T=(b-a)(加*值,下同)(2)f(a±x)=-f(b±x)T=2(b-a)(3)f(x-a)+f(x+a)=f(x)T=6a(4)設(shè)T≠0,有f(x+T)=M[f(x)]其中M(x)滿足M[M(x)]=x,且M(x)≠x則函數(shù)的周期為2
43,③奇偶函數(shù)概念的推廣:(1)對于函數(shù)f(x),若存在常數(shù)a,使得f(a-x)=f(a+x),則稱f(x)為廣義(Ⅰ)型偶函數(shù),且當(dāng)有兩個相異實數(shù)a,b滿足時,f(x)為周期函數(shù)T=2(b-a);(2)若f(a-x)=-f(a+x),則f(x)是廣義(Ⅰ)型奇函數(shù),當(dāng)有兩個相異實數(shù)a,b滿足時,f(x)為周期函數(shù)T=2(b-a);(3)有兩個實數(shù)a,b滿足廣義奇偶函數(shù)的方程式時,就稱f(x)是廣義(Ⅱ)型的奇,偶函數(shù).且若f(x)是廣義(Ⅱ)型偶函數(shù),那么當(dāng)f在[a+b/2,∞)上為增函數(shù)時,有f(x1)
44,④函數(shù)對稱性:(1)若f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=c則函數(shù)關(guān)于(a+b/2,c/2)成中心對稱(2)若f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)則函數(shù)關(guān)于直線x=a+b/2成軸對稱⑤柯西函數(shù)方程:若f(x)連續(xù)或單調(diào)(1)若f(xy)=f(x)+f(y)(x>0,y>0),則f(x)=㏒ax;(2)若f(xy)=f(x)f(y)(x>0,y>0),則f(x)=x2u(u由初值給出);(3)f(x+y)=f(x)f(y)則f(x)=a2x;(4)若f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy,則f(x)=ax2+bx(5)若f(x+y)+f(x-y)=2f(x),則f(x)=ax+b特別的若f(x)+f(y)=f(x+y),則f(x)=kx。
45,與三角形有關(guān)的定理或結(jié)論中學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何*基本的圖形就是三角形①在非Rt△中,有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;②任意三角形射影定理(又稱*余弦定理):在△ABC中a=bcosC+ccosB;b=ccosA+acosC;c=acosB+bcosA;③任意三角形內(nèi)切圓半徑r=2S/a+b+c(S為面積),外接圓半徑應(yīng)該都知道了吧④梅涅勞斯定理:設(shè)A1,B1,C1分別是△ABC三邊BC,CA,AB所在直線的上的點,則A1,B1,C1共線的充要條件是CB1/B1A.BA1/A1C.AC1/C1B=1。
44,易錯點:①,函數(shù)的各類性質(zhì)綜合運用不靈活,比如奇偶性與單調(diào)性常用來配合解決抽象函數(shù)不等式問題;②,三角函數(shù)恒等變換不清楚,誘導(dǎo)公式不迅捷。
45,易錯點:③,忽略三角函數(shù)中的有界性,三角形中角度的限定,比如一個三角形中,不可能同時出現(xiàn)兩個角的正切值為負(fù);④4,三角的平移變換不清晰,說明:由y=sinx變成y=sinwx的步驟是將橫坐標(biāo)變成原來的1/∣w∣倍。
46,易錯點:⑤,數(shù)列求和中,常常使用的錯位相減總是粗心算錯,規(guī)避方法:在寫第二步時,提出公差,括號內(nèi)等比數(shù)列求和,*后除掉系數(shù);⑥,數(shù)列中常用變形公式不清楚,如:an=1/[n(n+2)]的求和保留四項
47,易錯點:⑦,數(shù)列未考慮a1是否符合根據(jù)sn-sn-1求得的通項公式;⑧,數(shù)列并不是簡單的全體實數(shù)函數(shù),即注意求導(dǎo)研究數(shù)列的*值問題過程中是否取到問題
48,易錯點:⑨,向量的運算不完全等價于代數(shù)運算;⑩,在求向量的模運算過程中平方之后,忘記開方。比如這種選擇題中常常出現(xiàn)2,√2的答案…,基本就是選√2,選2的就是因為沒有開方;①①,復(fù)數(shù)的幾何意義不清晰
49,關(guān)于輔助角公式:asint+bcost=[√(a2+b2)【天津高中輔導(dǎo)班價格多少】]sin(t+m)其中tanm=b/a[條件:a>0]說明:一些的同學(xué)習(xí)慣去考慮sinm或者cosm來確定m,個人覺得這樣太容易出錯*好的方法是根據(jù)tanm確定m.(見上)。舉例說明:sinx+√3cosx=2sin(x+m),因為tanm=√3,所以m=60度,所以原式=2sin(x+60度)。
50,A、B為橢圓x2/a2+y2/b2=1上任意兩點。若OA垂直O(jiān)B,則有1/∣OA∣2+1/∣OB∣2=1/a2+1/b2。
